О крайних точках множества Харшаньи

О крайних точках множества Харшаньи

Васильев В. А.
Дискретный анализ и исследование операций, 33, 1, 26-37 (2026)
Скачать статью

УДК 519.83 
DOI: 10.33048/daio.2026.33.853

Аннотация:

В работе даётся полное описание крайних точек множества Харшаньи произвольной конечной кооперативной игры с побочными платежами. Выигрыши, отвечающие каждой такой точке, задаются некоторой полной упорядоченностью всех игроков. При этом дивиденд каждой коалиции передаётся целиком тому из её участников, кто является первым (в случае отрицательности этого дивиденда) или последним (в случае неотрицательности такового) в данной коалиции в смысле заданной упорядоченности. Полученный результат дополняет известную теорему Шепли о строении ядер выпуклых кооперативных игр. 

Библиогр. 14.

Литература:
  1. Фон Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970. 708 c.
     
  2. Оуэн Г. Теория игр. М.: Мир, 1971. 232 с.
     
  3. Печерский С. Л., Яновская Е. Б. Кооперативные игры: Решения и аксиомы. СПб.: Изд-во Европ. ун-та в С.-Петербурге, 2004. 460 с.
     
  4. Розенмюллер И. Кооперативные игры и рынки. М.: Мир, 1974. 160 с.
     
  5. Dehez P. On Harsanyi dividends and asymmetric values // Int. Game Theory Rev. 2017. V. 19, No. 3. Article ID 1750012. 36 p.
     
  6. Vasil’ev V. A. Cores and generalized NM-solutions for some classes of cooperative games // Russian contributions to game theory and equilibrium theory. Heidelberg: Springer, 2006. P. 91–149. (Theory Decis. Libr. C; V. 39).
     
  7. Васильев В. А. Об $H$-дележах кооперативных игр // Оптимизация. Вып. 24. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1980. С. 18–32.
     
  8. Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: Либроком, 2011. 176 с.
     
  9. Рокафеллар Р. Т. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. 472 с.
     
  10. Бондарева О. Н. Теория ядра для игры n лиц // Вестн. ЛГУ. Сер. Математика, механика, астрономия. 1962. Т. 13, № 3. C. 141–142.
     
  11. Бондарева О. Н. Некоторые применения методов линейного программирования к теории кооперативных игр // Пробл. кибернетики. Вып. 10. М.: Физматгиз, 1963. С. 119–140.
     
  12. Shapley L. S. Cores of convex games // Int. J. Game Theory. 1971. V. 1. P. 11–26.
     
  13. Вулих Б. З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Физматгиз, 1961. 408 с.
     
  14. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 742 с.

Исследование выполнено в рамках государственного задания Института математики им. С. Л. Соболева (проект № FWNF–2026–0022). Дополнительных грантов на проведение или руководство этим исследованием получено не было.

Васильев Валерий Александрович
  1. Институт математики им. С. Л. Соболева, 
    пр. Акад. Коптюга, 4, 630090 Новосибирск, Россия

E-mail: vasilev@math.nsc.ru 

Статья поступила 4 февраля 2026 г.
После доработки — 11 февраля 2026 г.
Принята к публикации 22 февраля 2026 г.

Abstract:

A complete description of the extreme points of the Harsanyi set of a cooperative $n$-player game is given. We establish that each extreme Harsanyi payoff of any such game, as an extreme imputation in the core of a convex game, is determined by some linear ordering of the players. However, in contrast to the extreme core imputations of a convex game, in Harsanyi payoffs each coalitional dividend is assigned either to the last (when the dividend is nonnegative), or to the first member of the coalition (when the dividend is negative). The terms “last” and “first” are applied with respect to the mentioned linear ordering. Note that, according to the famous Shapley theorem on the core of a convex game, the extreme core imputation determined by such linear ordering assigns each coalitional dividend exactly to the last participant of the coalition (independently of the sign of the dividend under consideration). 

Bibliogr. 14.

References:
  1. J. von Neumann and O. Morgenstern, Theory of Games and Economic Behavior (Princeton Univ. Press, Princeton, 1953; Nauka, Moscow, 1970 [Russian]).
     
  2. G. Owen, Game Theory (Saunders, Philadelphia, 1968; Mir, Moscow, 1971 [Russian]).
     
  3. S. L. Pecherskiy and E. B. Yanovskaya, Cooperative Games: Solutions and Axioms (Izd. Eur. Univ. St. Petersburg, St. Petersburg, 2004) [Russians].
     
  4. J. Rosenmüller, Kooperative Spiele und Märkte (Springer, Heidelberg, 1971 [German]; Mir, Moscow, 1974 [Russian]).
     
  5. P. Dehez, On Harsanyi dividends and asymmetric values, Int. Game Theory Rev. 19 (3), ID 1750012 (2017).
     
  6. V. A. Vasil’ev, Cores and generalized NM-solutions for some classes of cooperative games, in Russian Contributions to Game Theory and Equilibrium Theory (Springer, Heidelberg, 2006), pp. 91–149 (Theory Decis. Libr. C, Vol. 39).
     
  7. V. A. Vasil’ev, On $H$-divisions of cooperative games, in Optimization, Vol. 24 (Inst. Mat. SO AN SSSR, Novosibirsk, 1980), pp. 18–32 [Russian].
     
  8. G. G. Magaril-Ilyaev and V. M. Tikhomirov, Convex Analysis and Its Applications (Leebrokom, Moscow, 2011) [Russian].
     
  9. R. T. Rockafellar, Convex Analysis (Princeton Univ. Press, Princeton, 1970; Mir, Moscow, 1973 [Russian]).
     
  10. O. N. Bondareva, Core theory for a game of n people, Vestn. Leningr. Gos. Univ., Ser. Mat., Mekh., Astron. 13 (3), 141–142 (1962) [Russian].
     
  11. O. N. Bondareva, Some applications of linear programming methods to the theory of cooperative games, in Problems of Cybernetics, Vol. 10 (Fizmatgiz, Moscow, 1963), pp. 119–140 [Russian].
     
  12. L. S. Shapley, Cores of convex games, Int. J. Game Theory 1, 11–26 (1971).
     
  13. B. Z. Vulikh, Introduction to the Theory of Semi-Ordered Spaces (Fizmatgiz, Moscow, 1961) [Russian].
     
  14. L. V. Kantorovich and G. P. Akilov, Functional Analysis (Nauka, Moscow, 1977) [Russian].