Обобщённые централизаторы бинарного отношения

Обобщённые централизаторы бинарного отношения

Лежнин М. В., Хвощевский Д. А.
Дискретный анализ и исследование операций, 32, 3, 84-97 (2025)
Скачать статью

УДК 512.534.1 
DOI: 10.33048/daio.2025.32.824

Аннотация:

Рассматриваются обобщённые централизаторы бинарного отношения $\sigma$, представляющие собой полугруппы отношений (многозначных отображений), сохраняющих отношение $\sigma$ в определённом смысле. Определяется восемь неэквивалентных условий того, что может значить термин «сохранять отношение». Рассмотрены все возможные комбинации этих условий, приводящие к различным полугруппам обобщённых централизаторов бинарного отношения, в зависимости от мощности множества, на котором это отношение задано. В частности, доказано восемь теорем, устанавливающих связь между этими условиями: первые четыре теоремы выполняются только для конечных множеств, а последние — для произвольных. Также установлена полнота этого списка теорем для множеств мощности не меньше 4. Для каждой мощности дан исчерпывающий ответ на вопрос о числе обобщённых централизаторов. 

Табл. 2, библиогр. 5.

Литература:
  1. Вагнер В. В. Теория отношений и алгебра частичных отображений // Теория полугрупп и её приложения. Саратов: Изд-во Саратов. ун-та, 1965. С. 3–178.
     
  2. Ярошевич В. А. Полугруппы частичных и многозначных изотонных отображений: Дис. . . . канд. физ.-мат. наук: 01.01.06. Москва, 2009. 91 с.
     
  3. Böttcher M., Knauer U. Endomorphism spectra of graphs // Discrete Math. 1992. V. 109. P. 45–57.
     
  4. Клюшин А. А, Кожухов И. Б., Манилов Д. Ю., Решетников А. В. Определяемость отношений полугруппами изотонных преобразований // Дискрет. анализ и исслед. операций. 2024. Т. 31, № 1. С. 19–34.
     
  5. Кожухов И. Б., Ярошевич В. А. Полугруппы отображений, сохраняющих бинарное отношение // Фундамент. и прикл. математика. 2008. Т. 14, № 7. С. 129–135.

Исследование выполнено за счёт бюджета НИУ «Московский институт электронной техники». Дополнительных грантов на проведение или руководство этим исследованием получено не было.

Лежнин Максим Витальевич
  1. НИУ «Московский институт электронной техники»,  
    пл. Шокина, 1, 124498 Москва, Россия

E-mail: max.lezhnin@gmail.com 

Хвощевский Дмитрий Алексеевич
  1. НИУ «Московский институт электронной техники»,  
    пл. Шокина, 1, 124498 Москва, Россия

E-mail: dima1667@gmail.com 

Статья поступила 9 января 2025 г.
После доработки — 2 июня 2025 г.
Принята к публикации 22 июня 2025 г.

Abstract:

We consider generalized centralizers of a binary relation $\sigma$, which are semi-groups of relations (multi-valued mappings) that preserve the relation $\sigma$ in a certain sense. Eight nonequivalent conditions are defined to specify what the term “to preserve a relation” can mean. All possible combinations of these conditions are considered, resulting in different semi-groups of generalized centralizers of a binary relation, depending on the cardinality of the set on which the relation is defined. Specifically, eight theorems are proven, establishing the connection between these conditions: the first four theorems hold only for finite sets, while the last four are valid for arbitrary sets. Furthermore, the completeness of this list of theorems is demonstrated for sets of cardinality no less than 4. For each cardinality, an exhaustive answer is provided regarding the number of distinct generalized centralizers. 

Tab. 2, bibliogr. 5.

References:
  1. V. V. Vagner, Relation theory and algebra of partial mappings, in Semigroup Theory and Its Applications (Izd. Saratov. Univ., Saratov, 1965), pp. 3–178.
     
  2. V. A. Yaroshevich, Semigroups of partial and multivalued isotone mappings, Candidate Sci. Diss. (Moscow, 2009).
     
  3. M. Böttcher and U. Knauer, Endomorphism spectra of graphs, Discrete Math. 109, 45–57 (1992).
     
  4. A. A Klyushin, I. B. Kozhukhov, D. Yu. Manilov, and A. V. Reshetnikov, Definability of relations by semigroups of isotone transformations, Diskretn. Anal. Issled. Oper. 31 (1), 19–34 (2024) [Russian], DOI: 10.33048/daio.2024.31.783 [J. Appl. Ind. Math. 18 (1) 60–69 (2024), DOI: 10.1134/S199047892401006X].
     
  5. I. B. Kozhukhov and V. A. Yaroshevich, Transformation semigroups preserving a binary relation, Fundam. Prikl. Mat. 14 (7), 129–135 (2008) [Russian] [J. Math. Sci. 164 (2) 240–244 (2010), DOI: 10.1007/s10958-009-9723-5].